안녕하세요. 하이닥 피부과 상담의 남상호입니다.

1. 모자를 5분 정도 쓰고 있었는데 그게 원인이 되었을 수도 있을까요? 근데 같이간 가족 모두 돌아가면서 그 모자를 써보았는데 저만 이렇게 피부염이 생길 수도 있나요?

같은 상황에서도 피부염이 생길 가능성과 생기는 정도는 개인마다 다릅니다.
피부염이 생기기에는 좀 짧은 시간이긴 하지만 불가능한 건 아닙니다.

2. 목 부분은 다른 증상 같다 하셨는데 모자가 목부분도 닿았는데 그렇다면 목쪽도 접촉성피부염일 수 있나요?

목의 피부가 건조해보여서 '아토피피부염이 있나?'하는 생각을 했었습니다.
물론 모자가 접촉피부염을 만들었을 가능성을 완전히 배제할 수는 없고요.

3. 마지막으로 집에 있는 비판텐연고를 바르고 지르텍을 먹었는데요. 병원에 안 가고 연고 바르고 약을 먹는다면 어떤 걸 하면 되는 지요?

집에서 조치할 수 있는 방법으로는(약국에서 쉽게 살 수 있는 약제들을 이용한) 언급하신 내용 정도가 전부일 겁니다. 일단 비판텐연고만으로는 문의하신 분의 피부염을 치료할 수 없습니다.
스테로이드연고가 필요할 것 같으며 먹는 약까지 먹어야 빨리 해결할 것 같습니다.
환자를 진료하다보면 혼자서 어떻게 해보려고 하다가 고생은 고생대로 하고 오시는 분들이 많습니다.
빨리 제대로 된 처방을 받는 편이 현명한 조치일 수 있습니다.